Геометрические фракталы

Основными представителями этой группы фракталов являются такие объекты, как: кривая Пеано, снежинка Коха, треугольник Серпинского, пыль Кантора, «дракон» Хартера-Хейтуэя..[2]. Все они получены путем повторений определенной последовательности геометрических построений с использованием точек и линий. Кантор с помощью простой рекурсивной процедуры «превратил» линию в набор несвязных точек: брал линию и выносил её центральную треть на определенное расстояние, затем повторял эту процедуру с остальными отрезками. Джузеппе Пеано нарисовал особую линию, используя довольно простой алгоритм: он брал прямую линию, затем заменял её девятью отрезками, каждый из которых затем вновь подвергал этой процедуре и т.д.

Фракталы этой группы самые наглядные. Если проанализировать данные изображения, можно выделить следующие свойства геометрических фракталов:

Снежинка Коха

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является фрактал "Снежинка Коха". Строится она на основе равностороннего треугольника.
Пусть сторона исходного треугольника равна 1. Его площадь также равна 1.

Каждая сторона  делится на три части каждая длиной в 1/3 исходной  стороны. Затем пририсовывются три меньших равносторонних треугольника по одному на каждой стороне (на стредней трети). На каждой из полученных 12 сторон пририсовываются по одному ещё меньшему треугольнику (снова на средней трети стороны). 

Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть.

Этот процесс можно продолжать бесконечно долго. 

Каждый раз число сторон учетверяется. Число сторон можно выразить  такой последовательностью:

3, 3*4, 3*4*4,  3* 4*4*4, 3* 4*4*4*4....

Убеждаемся, что число сторон снежинки бесконечно велико.

Снежинка образуется добавлением треугольника к каждой стороне, так что выписанная последовательность  даёт иакже  и число треугольников, добавляемое на каждом этапе (каждой итерации).Начиная со второго этапа, количество добавляемых треугольников каждый раз учетверяется.

Площадь первоначального треугольника была равна 1. Площадь каждого нового треугольника равна 1/9 от плошади предыдущего. Площадь первоначального треугольника была равна 1.. После добавления трёх треугольников площадь увеличивается на 3/9=1/3. Затем каждый раз будет добавляться вчетверо больше треугольников, чем на предыдущем этапе. Следовательно, площадь, добавляемая на каждом этапе, будет составлять 4/9 от площади, добвледущнной на предыдущем этапе. 

Общую площадь снежинки можно выразить геометрическим рядом

1+ 1/3 + (1/3) * (4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9) + (1/3) * (4/9)*(4/9)*(4/9) + ...
Сумма этого ряда конечна и равна 1,6.

При этом периметр снежинки, напротив, бесконечен.